Verknüpfte Funktionen

Zuletzt bearbeitet am 28.07.2018 um 20:37 Uhr.

Leider bestehen Funktionen, die abgeleitet werden sollen, nicht immer nur aus einer Variablen und/oder Konstanten, sondern sind häufig zusammengesetzt aus mehreren Funktionen, wie zum Beispiel $$f(x)=2·x^2+4·x$$. Solche Funktionen kann man mithilfe der folgenden Regeln ableiten:

$$f(x)=g(x)+h(x)$$

$$f'(x)=g'(x)+h'(x)$$

$$f(x)=g(x)·h(x)$$

$$f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)$$

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

$$f'(x)=\frac{g'(x)·h(x)-g(x)·h'(x)}{(h(x))^2}$$

$$f(x)=g(h(x))$$

$$f'(x)=g'(h(x))·h'(x)$$

Die erste Regel, die Summenregel, ist wohl die am einfachsten zu lernende Regel, da sie nur besagt, dass die Abelitung einer Funktion, die die Summe aus zwei Funktionen ist, auch nur die Summe aus den zwei abgeleiteten Funktionen ist. Man kann sich als merken, dass Ableitungen bei einem Pluszeichen getrennt und einzelnd abgeleitet werden können. Beispiel: $$f(x)=5·x^3+\frac{1}{2}·x$$ $$f'(x)=15·x^2+\frac{1}{2}$$ Die zweite Regel, die Produktregel, ist für Funktionen, die aus dem Produkt von zwei Funktionen bestehen. Ein Beispiel dafür ist: $$f(x)=4·x^2·sin(x)$$ $$f'(x)=8·x·sin(x)+4·x^2·cos(x)$$ Die dritte Regel ist die Quotientenregel und wird benötigt, wenn es sich bei der abzuleitenden Funktion um eine Funktion handelt, die der Quotient zweier Funktionen ist, wie zum Beispiel: $$f(x)=\frac{sin(x)}{x}$$ $$f'(x)=\frac{cos(x)·x-sin(x)·1}{x^2}$$ Die vierte Regel für verkettete Funktionen, die Kettenregel, findet sehr häufig Anwendung bei den trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus...). Auch hierzu ein Beispiel: $$f(x)=sin(2·x^2)$$ $$f'(x)=cos(2·x^2)·4·x$$ Wenn du mehr über Ableitungen erfahren willst, bist du hier genau richtig.

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