Das Steigungsdreieck

Zuletzt bearbeitet am 13.05.2018 um 23:14 Uhr.

In einigen Situationen kann es sinnvoll sein, die Steigung einer linearen Funktion zu kennen. Wenn diese aber nicht angegeben ist, muss man die Steigung zuerst ermitteln. Dafür gibt es das sogenannte Steigungsdreieck. Mit diesem kann man auf relative einfache Art und Weise die Steigung einer linearen Funktion ermitteln. Wie genau man dabei vorgeht, wird hier erklärt:

Eine Funktion mit eingezeichnetem Steigungsdreieck
Skizze

Bei der Funktion wurde jetzt an einer beliebigen Stelle eine horizontale Linie von dem Graphen ausgehend gezeichnet und dann eine im rechten Winkel darauf stehende Linie bis zum Funktionsgraphen. Daraus ergibt sich dann mit der Funktion ein Dreieck, daher auch der Name "Steigungsdreieck". Jetzt kann man die Längen der zwei eingezeichneten Linien messen und erhält die in der Skizze eingetragenen Werte. Mit folgender Formel kann man dann die Steigung berechnen:

$$\mbox{Steigung m} = \frac{\delta y}{\delta x}$$

In diesem Beipiel würde sich folgende Rechnung ergeben: \(m = \frac{1}{3}\). Und schon kennt man die Steigung der linearen Funktion (in diesem Fall \(\frac{1}{3}\)).

Steigung ohne Steigungsdreieck bestimmen

Der Weg mit dem Steigungsdreieck ist einfach und zuverlässig. Jedoch kann man Zeit sparen, wenn man nicht jedes Mal eine Skizze der Funktion anfertigen muss, sondern die Steigung schon anhand von nur zwei Punkten ermitteln kann. Wie das geht, erfährst du jetzt:

Ein Steigungsdreieck an einem Funktionsgraphen
Skizze

Wenn man sich die Skizze mit dem Steigungsdreieck genauer anschaut, so kann man erkennen, dass das Steigungsdreieck eigentlich nur von zwei Punkten gebildet wird (die Punkte an denen das Dreieck und der Graph verbunden sind). Kennt man die Koordinaten der zwei Punkte, so kann man bereits mit diesen die Stidung der linearen Funktion bestimmen:

$$\mbox{Steigung m} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Dank dieser Gleichung bist du jetzt also in der Lage, die Steigung einer beliebigen Funktion anhand von nur zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen der Funktion zu bestimmen. So musst du nicht jedes Mal eine Skizze anfertigen, sondern kannst direkt die Steigung bestimmen.

Tipp

Wenn die Funktion zu der die Steigung bestimmt werden soll durch den Nullpunkt (0|0) geht, kannst du die Steigung sogar anhand eines einzigen Punktes auf dem Graphen der Funktion ermitteln. Dazu gehst du genauso vor wie oben beschrieben, nur das du für den ersten Punkt den Nullpunkt wählst. Damit ergibt sich dann folgende Gleichung:

$$\mbox{Steigung m} = \frac{y}{x} = \frac{f(x)}{x}$$

Bitte beachte, dass diese Gleichung nur für lineare Funktionen gültig ist, die durch den Nullpunkt gehen! Bei solchen Funktionen kannst du dir aber mit dieser Gleichung eine Menge Arbeit sparen.

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