Formeln zu Kreisen

Zuletzt bearbeitet am 26.03.2018 um 21:38 Uhr.

Eine Skizze von einem Kreis mit Beschriftungen
Skizze
Radius r

$$r=\frac{d}{2}$$

$$r=\frac{U}{2·\pi}$$

$$d=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

dDurchmesser
UUmfang
AFlächeninhalt
Durchmesser d

$$d=r·2$$

$$d=\frac{U}{\pi}$$

$$d=\sqrt{\frac{4· A}{\pi}}$$

rRadius
UUmfang
AFlächeninhalt
Umfang U

$$U=2· r·\pi$$

$$U=d·\pi$$

$$U=\sqrt{4·\pi· A}$$

$$U=2·\sqrt{A}·\sqrt{\pi}$$

rRadius
dDurchmesser
AFlächeninhalt
Flächeninhalt A

$$A=r^2·\pi$$

$$A=d^2·\frac{\pi}{4}$$

$$A=\frac{U^2}{4·\pi}$$

rRadius
dDurchmesser
UUmfang
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Kreise berechnen

Das faszinierende an Kreisen ist, dass ein Kreis schon durch eine der Eigenschaften Radius (oder Durchmesser), Umfang oder Flächeninhalt eindeutig ist. Das heißt, es gibt nicht zwei Kreise mit dem selben Flächeninhalt, aber unterschiedlichen Radien (in diesem Punkt ähneln Kreise Quadraten). Auch die irrationale Kreiszahl π hat schon viele Menschen in der Vergangenheit beschäftigt, unter ihnen Archimedes und Euler. π hat keinen genauen Wert, da sich die Nachkommastellen niemals wiederholen, mittlerweile wurden aber schon die ersten 22 Billionen Nachkommastellen berechnet (wofür auch immer man die braucht). In der Praxis reicht es meistens für π den Wert 3.14 anzunehmen. Hier findest du Erklärungen zu Kreisen und vielen weiteren Themen.

Eine Skizze von einem Kreis mit Beschriftungen
Skizze
Sagitta s

$$s=r-\sqrt{r^2-l^2}$$

rRadius
lHalbe Kreissehne
Halbe Kreissehne

$$l=\sqrt{2·r·s-s^2}$$

rRadius
sSagitta
Radius r

$$r=\frac{s}{2}+\frac{l^2}{2·s}$$

sSagitta
lHalbe Kreissehne

Die Sagitta

Die Sagitta beschreibt den Abstand von der Mitte eines Kreissegmentes zum Mittelpunkt der Kreissehne. Mit den dazugehörigen Formeln können beispielweise Architekten den Radius von gewölbten Wänden relativ einfach berechnen. Die Formeln kann man mithilfe des Satz des Pythagoras herleiten: Die Hälfte der Kreissehne und die Differenz von dem Radius und der Sagitta bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius als Hypothenuse. So ergibt sich folgende Gleichung \(r^2=l^2+(r-s)^2\), welche dann zu den oberen Formeln umgeformt werden kann. Der Name "Sagitta" stammt übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet soviel wie "Pfeil".

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