Die p-q-Formel

Zuletzt bearbeitet am 29.03.2018 um 21:39 Uhr.

Das Lösen quadratischer Gleichungen (\(a·x^2+b·x+c=0\)) ist eine Herausforderung, der wohl viele Schüler und/oder Studenten in ihrem Leben früher oder später (meist unfreiwillig) begegnen. Dabei gibt es mit der sogenannten p-q-Formel ein Werkzeug, dank dem das Lösen dieser Gleichungen bedeutend einfacher wird. Bevor man jedoch die p-q-Formel anwenden kann, muss die quadratische Gleichung in folgende Form gebracht werden:

$$x^2+p·x+q=0$$

Diese Form erhält man, wenn man die quadratische Gleichung durch den Leitkoeffizienten a teilt. So ergeben sich folgende Werte für p und q:

$$p=\frac{b}{a}$$ $$q=\frac{c}{a}$$

Ist man soweit gekommen, ist man schon fast am Ziel, auch wenn es noch nicht so aussieht. Man sollte wissen, dass bei einer quadratischen Gleichung es möglich ist, dass es zwei, einen oder keinen Wert für x gibt. Aber nun zur p-q-Formel:

$$x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$

Das \(x_{1/2}\) bedeutet, dass es zwei Gleichungen gibt, die gelöst werden müssen, in einer wird das Plusminus als Plus genommen, in der anderen als Minus. Also erhält man die folgenden zwei Gleichungen:

$$x_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$

$$x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$

In diese kann man jetzt die Werte aus der umgestellten quadratischen Gelichung einsetzen und schon hat man die Ergebnisse. Sollte der Wert unter der Wurzel negativ sein, so erhält man kein reeles Ergebnis. Das heißt für Schüler, dass sie an dieser Stelle abbrechen können, weil es keine Lösung, für beispielsweise Studenten heißt das aber, dass sie mit komplexen Zahlen rechnen dürfen.

Wenn du mehr über das Lösen quadratischer Gleichungen erfahren willst, bist du hier genau richtig.

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