Determinante bestimmen

Zuletzt bearbeitet am 28.07.2018 um 20:38 Uhr.

Die Determinante von Matrizen zu bestimmen, kann eine ziemlich aufwändige Aufgabe sein. Zwar gibt es für Matrizen bis zu der Größe von 2×2 kurze Formeln, aber für größere Matrizen kommt man um viel Schreibarbait nicht herum. Hier wird das Vorgehen zum Bestimmen von der Determinante von Matrizen genau erklärt, sodass jeder die Determinate bestimmen kann. Von nicht-quadratischen Matrizen kann die Determinante nicht bestimmt werden, sie ist nicht definiert.

Kleine Matrizen

Eine Matrix mit der Größe 0×0 kommt zwar eher selten vor, wenn jedoch doch mal die Determinante von so einer Matrix bestimmt werden soll, so ist die Aufgabe einfach zu lösen. Eine Matrix ohne Elemente hat die Determinante 1. Ähnlich schnell lässt sich die Determinante einer 1×1 Matrix bestimmen. In diesem Fall ist die Determinante mit dem Wert des einzigen Elementes definiert. Für 2×2 Matrizen gibt es auch noch eine relativ einfache Vorgehensweise: Das Produkt aus den Elementen der Hauptdiagonalen minus das Produkt der übrigen Elemente:

$$\begin{vmatrix}a &b \\c &d\end{vmatrix}=ad-bc$$

Wichtig: Diese Formel gilt nur für 2×2 Matrizen, leider bei größeren nicht mehr.

Größere Matrizen

Für größere Matrizen kann man entweder sehr lange Formeln auswendig lernen (oder nachschlagen) oder man merkt sich nur das Vorgehen, genauer den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dieser verkleinert eine Matrix immer genau um eine Spalte und eine Zeile. Den Laplaceschen Entwicklungssatz wendet man dann so oft an, bis man zu einer kleinen Matrix gekommen ist (2×2 Matrix reicht meistens).

Der Laplacesche Entwicklungssatz

Im ersten Schritt wählt man eine beliebige Zeile oder Spalte aus der Matrix aus. Dann multipliziert man für jedes Element dieser Zeile (oder Spalte) das Element mit der Ausgangsmatrix, nur dass die Zeile und Spalte des Elementes weggelassen wird. Diese einzelnen Teile werden dann mit einem Faktor (wenn Zeile + Spalte = gerade Zahl, dann mit 1, sonst mit -1) multipliziert und addiert. Hier nochmal anschaulich:

$$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g &h &i \end{vmatrix}=a·\begin{vmatrix}e &f \\h &i \end{vmatrix}-b·\begin{vmatrix}d &f \\g &i \end{vmatrix}+c·\begin{vmatrix}d &e \\g &h \end{vmatrix}$$

In dem Beispiel wurde die erste Zeile ausgewählt, es würde aber analog auch mit jeder andere Zeile oder Spalte funktionieren. Die jetzt entstandenen 2×2 Matrizen können mit der oben vorgestellten Vorgehnsweise aufgelöst werden, sodass dann die Determinante der Matrize bestimmt werden kann. Die Bestimmung von Determinanten lernt man am besten durch Üben, zur Kontrolle deiner Übungen kann ich dir den Matrizenrechner empfehlen.

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