Matrizen multiplizieren

Zuletzt bearbeitet am 28.07.2018 um 21:39 Uhr.

Die Matrizenmultiplikation ist nicht mit der Addition oder Subtraktion von Matrizen zu vergleichen. So fällt zum Beispiel die Bedingung, dass die Matrizen die selbe Größe haben müssen, weg. dafür muss aber die Spaltenanzahl der ersten Matrix der Zeilenanzahl der zweiten Matrix entsprechen. Die Ergebnismatrix hat dann so viele Zeilen wie die erste Matrix und so viele Spalten wie die zweite Matrix. Dazu kann man sich folgendes merken:

Zwei Matrizen werden miteinander multipliziert

Daraus folgt auch, dass A·B≠B·A ist (anders als bei der Addition und Subtraktion)! Unterscheidet sich die Anzahl der Spalten der ersten Matrix von der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix, ist die Matrizenmultiplikation nicht definiert. Das Vorgehen bei der Matrizenmultiplikation ist auf den ersten Blick recht kompliziert, wenn man aber einige Aufgaben durchgerechnet hat, verinnerlicht man das Vorgehen relativ schnell. Aus diesem Grund würde ich dir empfehlen ein wenig mit dem Matrizenrechner zu spielen und so ein Gefühl für die Multiplikation von Matrizen zu bekommen.

Die Vorgehensweise

Das erste Element der Ergebnismatrix ist die Summe aus den Multiplikationen von den Elementen der ersten Zeile der ersten Matrix mit den jeweiligen Elementen der ersten Spalte der zweiten Matrix:

$$\begin{pmatrix}\color{red}a &\color{red}b &\color{red}c \\d &e &f\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\color{green}g &h\\\color{green}i &j \\\color{green}k &l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}a·\color{green}g + \color{red}b·\color{green}i + \color{red}c·\color{green}k &* \\* &* \end{pmatrix}$$

Und genauso geht man für alle Zeilen der ersten Matrix beziehungsweise die Spalten der zweiten Matrix vor: $$\begin{pmatrix}\color{red}a &\color{red}b &\color{red}c \\d &e &f\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}g &\color{green}h\\i &\color{green}j \\k &\color{green}l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}* &\color{red}a·\color{green}h + \color{red}b·\color{green}j + \color{red}c·\color{green}l \\* &* \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}a &b &c \\\color{red}d &\color{red}e &\color{red}f\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\color{green}g &h\\\color{green}i &j \\\color{green}k &l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}* &* \\\color{red}d·\color{green}g + \color{red}e·\color{green}i + \color{red}f·\color{green}k &* \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}a &b &c \\\color{red}d &\color{red}e &\color{red}f\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}g &\color{green}h\\i &\color{green}j \\k &\color{green}l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}* &* \\* &\color{red}d·\color{green}h + \color{red}e·\color{green}j + \color{red}f·\color{green}l \end{pmatrix}$$

Und hier nochmal die vollständige Ergebnismatrix:

$$\begin{pmatrix}a &b &c \\d &e &f\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}g &h\\i &j \\k &l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a·g + b·i + c·k &a·h + b·j + c·l \\d·g + e·i + f·k &d·h + e·j + f·l \end{pmatrix}$$

An sich ist die Matrizenmultiplikation also nicht wirklich kompliziert, jedoch kann es bei größeren Matrizen einiges an Arbeit erfordern. Wenn du dir die Arbeit sparen, oder dein Ergebnis kontrollieren möchtest, kannst du auch den Matrizenrechner nutzen.

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