Definition von Potenzen

Zuletzt bearbeitet am 28.07.2018 um 20:38 Uhr.

Wenn eine Zahl x mit einer Zahl y multipliziert wird, dann wird x y-mal zu sich selbst addiert. Genauso funktionieren Potenzen: Eine Zahl x wird y-mal mit sich selbst multipliziert. So schreibt man das dann auf:

$$Potenzwert={Basis}^{Exponent}$$ $$a=x^y=\underbrace{x·x·x...}_y$$

Potenzen können also genutzt werden, um große Zahlen oder lange Gleichungen kompakt darzustellen. Einige Beispiele für Potenzen:

$$5^2=5·5=25$$ $$4^4=4·4·4·4=512$$ $$10^3=10·10·10=1000$$

Das letzte Beispiel ist eine besondere Art der Potenzen, denn diese Potenz gehört zu den Zehnerpotenzen. Die Zehnerpotenzen sind die Potenzen mit einer 10 als Basis. Das besondere an ihnen ist, dass der Potenzwert der Zehnerpotenzen eine 1 mit sovielen Nullen wie der Exponent ist. Eine \(10^{12}\) wäre also ausgeschrieben eine 1 mit 12 Nullen. Hier sieht man relativ gut, welchen Vorteil die Potenzen bringen. Große Zahlen können kompakt geschrieben werden, und so Missverständnisse minimiert werden, denn \(10^{12}\) ist einfacher zu lesen als 1000000000000.

Sonderfälle

Bei den Potenzen gibt es zwei Sonderfälle, auf die hier eingegangen werden soll:

$$x^1=x$$ $$x^0=1$$ $$0^0=nicht\:definiert$$

Der erste Sonderfall sind die Potenzen mit einer 1 als Exponent. In diesen Fällen ist der Exponent überflüssig, da der Potenzwert dem Wert der Basis entspricht. Der zweite Sonderfall handelt von den Potenzen, die als Exponenten eine 0 haben. Der Potenzwert dieser Potenzen ist immer 1, es sei denn, die Basis ist auch 0. Dabei gibt es nur die folgende Ausnahme: \(0^0\) ist nicht definiert, und hat somit kein Ergebnis. Für alle anderen Zahlen gilt aber, dass wenn der Exponent 0 ist, ist der Potenzwert 1. Wenn du mehr über Potenzen erfahren willst, bist du hier genau richtig.

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