Die Primfaktorzerlegung

Zuletzt bearbeitet am 02.05.2018 um 18:00 Uhr.

Jede natürliche Zahl (1, 2, 3, 4...) kann als Produkt aus Primzahlen dargestellt werden. Ein paar Beipiele:

$$12=2·2·3=2^2·3^1$$ $$25=5·5=5^2$$ $$918=2·3·3·3·17=2^1·3^3·17^1$$

Doch wie zerlegt man eine Zahl in die Primfaktoren? Man beginnt damit, dass man überprüft, ob die Zahl, die man zerlegen möchte, durch 2 teilbar ist. Wenn das der Fall ist, teilt man die Zahl durch zwei und schreibt sich eine 2 als ein Primfaktor auf und teilt die Zahl durch 2. Diesen Vorgang wiederholt man solange bis die Zahl nicht mehr durch 2 teilbar ist. Dann versucht man die Zahl durch 3 zu teilen, bis das nicht mehr geht. Danach versucht man die Zahl durch 5 zu teilen. Immer wenn die Zahl nicht mehr teilbar ist, versucht man durch die nächst größere Primzahl zu teilen. Man hat das Ende erreicht, wenn das Ergebnis einer Gleichung 1 ist. Beispiel:

Primfaktoren von 126:

Ist 126 durch 2 ohne Rest teilbar? Ja

$$126:2=63$$

Ist 63 durch 3 ohne Rest teilbar? Ja

$$63:3=21$$

Ist 21 durch 3 ohne Rest teilbar? Ja

$$21:3=7$$

Ist 7 durch 3 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 7 durch 5 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 7 durch 7 ohne Rest teilbar? Ja

$$7:7=1$$

Die Primfaktoren sind also folgende: \(126=2^1·3^2·7^1\). Mit diesen Primfaktoren kann man dann zum Beispiel den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei zahlen bilden.

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