Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

Zuletzt bearbeitet am 02.05.2018 um 18:00 Uhr.

Der Name "kleinstes gemeinsames Vielfaches" erklärt eigentlich schon ganz gut was das kgV ist. Die viel spannendere Frage, die hier auch behandelt werden soll ist, wie wird das kgV schnell und einfach berechnet. Bei kleinen Zahlen, wie 4 und 6 ist es noch relativ einfach durch Ausprobieren zu ermitteln (12), bei größeren Zahlen wäre diese Vorgehensweise jedoch sehr zeitaufwändig bis nicht machbar. Deshalb gibt es einen Weg, der immer funktioniert und relativ simpel ist. Als Beispiel möchte man das kgV von 84 und 630 ermitteln. Man beginnt dazu mit der Primfaktorzerlegung einer der beiden Zahlen:

Ist 84 durch 2 ohne Rest teilbar? Ja

$$84:2=42$$

Ist 42 durch 2 ohne Rest teilbar? Ja

$$42:2=21$$

Ist 21 durch 2 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 21 durch 3 ohne Rest teilbar? Ja

$$21:3=7$$

Ist 7 durch 3 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 7 durch 5 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 7 durch 7 ohne Rest teilbar? Ja

$$7:7=1$$

Die Primfaktoren von 84 sind also: \(84=2^2·3^1·7^1\). Dann zerlegt man auch die andere Zahl in ihre Primfaktoren:

Ist 630 durch 2 ohne Rest teilbar? Ja

$$630:2=315$$

Ist 315 durch 2 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 315 durch 3 ohne Rest teilbar? Ja

$$315:3=105$$

Ist 105 durch 3 ohne Rest teilbar? Ja

$$105:3=35$$

Ist 35 durch 3 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 35 durch 5 ohne Rest teilbar? Ja

$$35:5=7$$

Ist 7 durch 5 ohne Rest teilbar? Nein

Ist 7 durch 7 ohne Rest teilbar? Ja

$$7:7=1$$

Die Primfaktoren von 630 sind also: \(630=2^1·3^2·5^1·7^1\). Nun kennt man die Primfaktoren beider Zahlen und es geht einen Schritt weiter. Jetzt nimmt man von allen Primzahlen den jeweils höheren Exponenten und schon hat man das kgV:

$$kgV(84, 630)=2^2·3^2·5^1·7^1$$ $$kgV(84, 630)=1260$$

Abschließend noch zwei Tipps, wie man das Ergebnis schnell überprüfen kann: Das kgV zweier Zahle ist nie kleiner als die größere der beiden Zahlen (kann aber die größere Zahl sein) und ist niemals größer als das Produkt der beiden Zahlen. Mathematisch ausgedrückt:

$$max(a, b)\leq kgV(a, b)\leq a·b$$ Wenn du mehr über das kleinste gemeinsame Vielfache erfahren willst, bist du hier genau richtig.

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